Bonsoir, pouviez vous m'aider pour cette exercice svp.
ça fais un moment que j'essaye de le faire et je galère vraiment.
c'est sur le chapitre produits scalaire et applications.
beaucoup pour votre aide.

Bonjour ;

1.

a.

Soit ay + bx + c = 0 l'équation cartésienne de la droite (FG) .

Cette droite passe par le point F(2 ; 5) ; donc on a : 5a + 2b + c = 0 .

Cette droite passe aussi par le point G(4 ; - 1) ; donc on a :

- a + 4b + c = 0 .

On a donc : 5a + 2b + c - (- a + 4b + c) = 0 ;

donc : 5a + a + 2b - 4b = 0 ;

donc : 6a - 2b = 0 ;

donc : 3a - b = 0 ;

donc : b = 3a ;

donc si : a = 1 alors on a  : b = 3 et c + 5 + 6 = 0 ;

donc on a : a = 1 ; b = 3 et c = - 11 ;

donc une équation cartésienne de la droite (FG) est : y + 3x - 11 = 0 .

b.

De l'expression de l'équation cartésienne de la droite (FG) ,

on peut dire que le vecteur de coordonnées : (3 ; 1) est perpendiculaire

au vecteur FG .

c.

Les coordonnées du milieu du segment [FG] sont :

(2 + 4)/2 = 3 et (5 - 1)/2 = 2 .

d.

La médiatrice (d1) a pour vecteur directeur , le cecteur de coordonnées

(3 ; 1) ; donc une équation cartésienne de (d1) est : 3y - x + c' = 0 ;

et comme cette médiatrice passe par le milieu du segment [FG] de

coordonnées (3 ; 2) ; donc on a : 3 * 2 - 9 + c' = 0 ;

donc : c' = - 3 ; donc une équation cartésienne de (d1) est :

3y - x - 3 = 0 .

1)

a) (E₁) = x² - 8x + y² + 4y + 11 = 0

l'équation d'un cercle est de la forme

(x - a)² + (y - b)² = r²

(a;b) coordonnées du centre, r rayon.

on va mettre  (E₁) sous cette forme

x² - 8x est le début du développement du carré (x - 4)²

x² - 8x = (x - 4)² - 16

de même y² + 4y = (y + 2)² - 4

(E₁) : (x - 4)² + (y +2)² -16 -4 + 11 = 0

        (x - 4)² + (y +2)²  = 9

équation du cercle de cente C(4;-2) et de rayon 3

b) le point A(1 ; 2) n'est pas sur le cercle

(1 - 4)² + (2 + 2)²  = 9 + 16 = 25

c'est le point A'(1; -2) qui est sur le cercle

(1 - 4)² + (2 - 2)²  =  (-3)² + 0 = 9

2)

a) (E₂) : x + 3y - 5 = 0  

Un vecteur directeur d'une droite d'équation ax + by + c  est u  (−b ; a)

ici  u(-3; 1)

b) B(2;1)

2 + 3(1) - 5 = 0

5 - 5 = 0 le point est bien sur la droite

3) tracer le cercle (tu as le centre et le rayon)

tracer la droite        x + 3y - 5 = 0  

on connaît les point B (2 ; 1)

second point : si y = 0  alors  x = 5        F(5 ; 0)

la droite c'est BF

4) résoudre le système

(E₁)   (x - 4)² + (y +2)²  = 9

(E₂)   x + 3y - 5 = 0  

on tire x de (E₂)   x = 5 - 3y

et on porte dans  (E₁)

(5 - 3y - 4)² + (y + 2)² = 9

on trouve

10y² - 2y - 4 = 0                ∆ = 164 = 4*41

il y a deux solutions

y₁ = (1 + √41)/10   et       y₂ =  (1 - √41)/10

tu calcules les valeurs de x correspondantes et tu obtiens les coordonnées des points communs au cercle et à la droite.